Jupyter Notebook desenvolvido por Gustavo S.S.
Se a corrente através de um resistor R for i = Im cos(wt + ϕ), a tensão nele será dada pela lei de Ohm, como segue:
\begin{align} {\Large v(t) = iR = R I_m cos(\omega t + \phi)} \\{\Large V = RI_m \angle \phi} \\{\Large V = RI} \end{align}Para o indutor L, suponha que a corrente através dele seja i = Im cos(wt + ϕ). A tensão no indutor é:
\begin{align} {\Large v(t) = L \frac{di}{dt} = - \omega L I_m sen(\omega t + \phi)} \\{\Large v(t) = \omega L I_m cos(\omega t + \phi + 90º)} \\{\Large V = \omega L I_m e^{j(\phi + 90º)} = \omega L I_m \angle \phi + 90º} \end{align}A partir da equação da corrente no indutor, podemos escrever:
\begin{align} {\Large V = j \omega L I} \end{align}Para o capacitor C, suponha que a tensão nele seja v = Vm cos(wt + ϕ). A corrente através do capacitor é:
\begin{align} {\Large i(t) = C \frac{dv}{dt}} \\{\Large I = j\omega C V} \\{\Large V = \frac{I}{j \omega C}} \end{align}Exemplo 9.8
A tensão v = 12 cos(60t + 45°) é aplicada a um indutor de 0,1 H. Determine a corrente em regime estacionário através do indutor.
In [2]:
print("Exemplo 9.8")
omega = 60
L = 0.1
V = 12
#v = 12[45º]
#I = V/jwL[45 - 90]
I = V/(omega*L)
phi = 45 - 90
print("Corrente fasorial: {}[{}]".format(I,phi))
print("Corrente temporal: {}cos({}t + {})".format(I,omega,phi))
Problema Prático 9.8
Se a tensão v = 10 cos(100t + 30°) for aplicada a um capacitor de 50 uF, calcule a corrente através do capacitor.
In [4]:
print("Problema Prático 9.8")
V = 10
u = 10**(-6)
C = 50*u
omega = 100
#I = jwCV[30 + 90]
I = omega*C*V
phi = 30 + 90
print("Corrente fasorial: {}[{}]".format(I,phi))
print("Corrente temporal: {}cos({}t + {})".format(I,omega,phi))
Das expressões de tensão e corrente fasorial que apresentamos, obtemos a lei de Ohm na forma fasorial para qualquer tipo de elemento:
\begin{align} {\Large Z = \frac{V}{I}} \end{align}onde Z é um valor dependente da frequência conhecido como impedância e medido em ohms.
A impedância Z de um circuito é a razão entre a tensão fasorial V e a corrente fasorial I, medida em ohms (Ω).
A impedância representa a oposição que um circuito oferece ao fluxo de corrente senoidal. Embora seja a razão entre dois fasores, ela não é um fasor, pois não corresponde a uma quantidade que varia como uma senoide.
Sendo um valor complexo, a impedância pode ser expressa na forma retangular como segue:
\begin{align} {\Large Z = R + jX} \end{align}onde R = Re(Z) é a resistência e X = Im(Z) é a reatância. A reatância X pode ser positiva ou negativa. Dizemos que a impedância é indutiva quando X é positiva, ou capacitiva quando X é negativa.
A impedância também pode ser expressa na forma polar como:
\begin{align} {\Large Z = |Z| \angle \theta} \\{\Large |Z| = \sqrt{R^2 + X^2}} \\{\Large \theta = arctg(\frac{X}{R})} \\{\Large R = |Z|cos(\theta)} \\{\Large X = |Z|sen(\theta)} \end{align}A admitância Y é o inverso da impedância, medida em siemens (S).
\begin{align} {\Large Y = \frac{1}{Z} = \frac{I}{V}} \\{\Large Y = \frac{1}{|Z|} \angle -\theta} \\{\Large Y = G + jB} \end{align}onde G = Re Y é chamada condutância e B = Im Y é denominada susceptância.
\begin{align} {\Large G + jB = \frac{1}{R + jX} = \frac{R - jX}{R^2 + X^2}} \\{\Large G = \frac{R}{R^2 + X^2}} \\{\Large B = \frac{-X}{R^2 + X^2}} \end{align}Exemplo 9.9
Determine v(t) e i(t) no circuito apresentado na Figura 9.16.
In [20]:
print("Exemplo 9.9")
import numpy as np
V = 10
C = 0.1
R = 5
omega = 4
Zc = 1/(omega*C)
print("Impedância Z = {} - j{}".format(R,Zc))
Z = np.sqrt(R**2 + Zc**2)
theta = np.arctan(Zc/R)*180/np.pi
I = V/Z
phi = 0 - theta
print("I = {} [{}º]".format(I,phi))
V = I*Zc
print("V = {} [{}º]".format(V,phi - 90))
Problema Prático 9.9
Consulte a Figura 9.17. Determine v(t) e i(t).
In [26]:
print("Problema Prático 9.9")
V = 20
omega = 10
phi = 30
R = 4
L = 0.2
Zl = omega*L
print("Z = {} + j{}".format(R,Zl))
Z = np.sqrt(R**2 + Zl**2)
theta = np.arctan(Zl/R)*180/np.pi
I = V/Z
alpha = phi - theta
print("I = {}[{}º]".format(I,alpha))
print("i(t) = {}sen({}t + {}º)".format(I,omega,alpha))
Vl = Zl*I
print("V = {}[{}º]".format(Vl,alpha + 90))
print("v(t) = {}sen({}t + {}º)".format(Vl,omega, alpha + 90))
As Leis de Kirchhoff (dos nós e das malhas) também se aplicam para a análise de circuitos no domínio da frequência (fasorial). A associação de impedâncias segue o mesmo cálculo para a associação de resistências e a associação de admitâncias segue a de condutâncias:
Em série
\begin{align} {\Large Z_{eq} = Z_1 + Z_2 + ... + Z_N = \sum_{i = 1}^{N} Z_i } \end{align}Em Paralelo
\begin{align} {\Large \frac{1}{Z_{eq}} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + ... + \frac{1}{Z_N}} \\{\Large Z_{eq} = (\sum_{i=1}^{N} Z_i ^{-1})^{-1}} \end{align}